芝诺：古希腊数学家辩证法的创始人

                                                                       2019-3-17 青野云麓

芝诺（Zeno of Elea）约公元前490年生于意大利半岛南部的埃利亚；约公元前425年卒。古希腊数学、哲学家。另以芝诺悖论著称，即提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。由于量子的发现，这些悖论已经得到完善的解决。

芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友．关于他的生平，缺少可靠的文字记载。

芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友．关于他的生平，缺少可靠的文字记载。

柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂．那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构，然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。

据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护，但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作《论自然》。

在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。”

公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯(Simplici－us)为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外还有少量零星残篇可提供佐证。现存的芝诺悖论至少有 8个，其中关于运动的4个悖论尤为著名。

关于芝诺之死,有一则广为流传但情节说法不一的故事说，芝诺因蓄谋反对埃利亚(另一说为叙拉古)的僭主，而被拘捕、拷打，直至处死。

芝诺（Zeno of Elea）生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。

据说他在母邦度过了一生，仅在成名之后到过雅典。据传说，芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死。关于他的生平，缺乏可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德篇》中，记载了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中有这样的文字：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时的芝诺约40岁，身材魁梧而美观，大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了。”在以后的希腊著作家看来，这次访问是柏拉图虚构的。但柏拉图有关芝诺观点的记叙，却被普遍认为是准确的。在柏拉图的巴门尼德篇中，当芝诺谈到自己的著作(论自然)时，这样说道：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将他窃去，以至我不能决断，是否应当让它问世。 ”芝诺不象他的老师那样企图从正面去证明是一不是多，是静不是动，他常常从反面即归谬法来为“存在论”辩护。公元五世纪的评论家普罗克洛斯说过，芝诺从“ 多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。芝诺的著作早已失传，亚里士多德的物理学和辛普里西奥斯为物理学作的注解是了解芝诺悖论的主要途径，此外只有少量零散的文献可作参考。

直到19 世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名，…。”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。

有关芝诺悖论在古希腊数学发展中起到的作用，在科学史上众说纷纭。P• 汤纳利首先提出，不是巴门尼德而是毕达哥拉斯学派发现的不可公约量，对芝诺悖论的提出产生了深刻的影响。H•赫斯和H•斯科尔斯则认为芝诺是对古代数学的发展起决定影响的人物，他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段，想以此来克服因发现不可公约量而引起的矛盾，而芝诺的悖论反对了这种不准确的做法，从而迫使其他数学家去寻找真正的原因所在。另有一些学者持有完全不同的观点，他们认为芝诺对那个时代的数学发展没有作出任何重大的贡献。不管争论的结果如何，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上消失，就像美国数学史家E•T•贝尔说的，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辨证的考察。在哲学上，芝诺被亚里士多德誉为辩证法的发明人，黑格尔在他的哲学史演录中指出：“芝诺主要是客观的辨证的考察了运动，并称芝诺为“辩证法的创始人”。

个人理论

现在我们提起芝诺，能想起来的就是大名鼎鼎的阿喀琉斯和乌龟的悖论了。阿喀琉斯是荷马史诗《伊利亚特》中提到的勇士，阿喀琉斯的母亲忒提丝是不朽的神，所以希望自己的娃也是不朽的。在阿喀琉斯出生后不久，他娘忒提丝就拎着喀琉斯的脚倒提着浸泡在冥河里。如此一来，阿喀琉斯就变成了刀枪不入、金刚不坏之身。可是，阿喀琉斯他妈忘了把小阿喀琉斯的脚后跟也泡一泡，所以这也就成为了阿喀琉斯的弱点，正所谓“阿喀琉斯之踵”。甭管怎样吧，阿喀琉斯都是一位开了挂的神人，但是芝诺确认为，他是跑不过一只乌龟的，那么这是为什么呢？

原来，虽然阿喀琉斯比香港记者跑得快多了，但是每当阿喀琉斯跑到了乌龟的位置时，乌龟也已经往前面爬了一小段距离；当阿喀琉斯跑过这一小段距离时，乌龟又接着向前跑了更小的一段距离。就这样，阿喀琉斯虽然一直在接近乌龟，他们之间的距离越来越小，可就是追不上。

乍看起来，芝诺这么说好像还真是这个道理。

事实上，在古希腊那个年代，芝诺提出的这个悖论还确实是不好理解。不过芝诺悖论肯定是错的，否则港记连乌龟都追不上，那还得了？那么问题到底出在哪儿呢？

我们假设乌龟和阿喀琉斯起跑的距离是1米，乌龟的速度是0.1，阿喀琉斯的速度是1m/s，那么阿喀琉斯往前跑了1米，来到乌龟起跑位置就需要1秒，赛跑的时间就加1s，在这1秒的时间里，乌龟往前爬了0.1米；接下来，阿喀琉斯再往前跑完这0.1米，用了0.1秒的时间，赛跑的时间就再加0.1秒……就这样以此类推，阿喀琉斯要追上乌龟，需要的时间是1+0.1+0.01+0.001+... 就这样无穷地加下去。

看上去这个加法有无穷多个项相加，但是实际上这样无穷多个项相加的结果并不是无穷大。我们可以发现，阿喀琉斯追上乌龟需要的时间是1.111111111...秒，其实也就是九分之十秒，差不多1秒多一些。所以，阿喀琉斯追乌龟并不需要无穷大的时间。实际上，芝诺悖论的本质就是，一个有限的数字，也能够分解为无穷多个量相加。换句话说，无穷多个量相加，得到的结果不一定是无穷大，也有可能是一个有限的量。

芝诺提出的另一个悖论是“飞矢不动”，这个悖论是说，一支飞行的箭是静止的。这是因为，如果一支箭要从A点出发，飞到B点，就必须经过A点和B点之间的C点，而进一步地，箭要从A点飞到C点，又要经过A点和C点之间的D点，以此类推，这支箭飞行的距离会越分越短，最后就是这支箭静止不动了。

其实这个悖论和阿喀琉斯追乌龟的悖论一样，这支箭飞过的距离的确可以分割成无穷多个小段，分的小段越短，飞过这段距离需要的时间也越短，所以这支箭不会真的静止不动。其实，类似的悖论在中国古代也有人提出过。我国古代名家的惠施曾提出过：飞鸟之景，未尝动也。也就是说，虽然鸟儿飞的速度很快，但是实际上并没有动。

在现实中，芝诺的这种思想还是有很多应用的。比如说，黄博士为了给女神买礼物，一狠心来了个分期付款，而分期付款就是把有限的钱数分成了非常多份，并且在每一份付款上面都加上了利息。黄博士直观上感觉自己没花多少，但实际上，他连本带利支付的钱数比礼物原有的钱数多得多，不得不说，商家果然身经百战，把痴情的黄博士套牢了。

现在我们看芝诺悖论，也许觉得这人精神有点问题，完全是在扯淡。但芝诺悖论引出的这种思想，正是微积分的思想基础。微积分其实就是把函数分割为无穷多份，然后再累加。虽然很长一段时间里，因为芝诺悖论明显违背现实情况，所以被许多人当成是扯淡，完全没有意义。但到了19世纪以后，学者们重新开始研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被人刻意地曲解了，从而背离了芝诺的真正宗旨。所以说接到消息后，自己也要首先进行判断，否则日后报道上出了偏差，我们要负责的。

英国哲学家罗素曾感慨地说：在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的，最显眼的牺牲品莫过于爱利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名。

所以，还是要感谢芝诺吧。幸福的现代人啊，你们已可以不惧冻寒与饥冷，是因为你们的先辈们，抗争于多少代的火种刀耕。

历史评价

虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销．正如美国数学史家E．T．贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。

”芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察．虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。

芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。